Algunas ideas para trabajar con temperamentos iguales o con otros basados en proporción

Como lo prometí en la entrada anterior hoy escribo acerca de temperamentos. Recomiendo explorar el siguiente vínculo (acá antes de que desaparezca en julio/2018) para ampliar bastante lo que voy a escribir, pues me concentraré en la implementación en Pure Data, más que en el trasfondo histórico, teórico y notacional.

Es importante entender que para crear una relación interválica se debe crear un espacio que se somete a un o unos criterios de división del mismo. La relación de octava por ejemplo, que es el doble de la frecuencia que se tome como referencia, ha sido un prototipo muy extendido para crear un espacio de relaciones interválicas, sin embargo no es el único posible pues en términos generales, en música electroacústica podemos extendernos hacia cualquier múltiplo (entero o no) de una frecuencia de referencia. Por ejemplo, en el Studie II (1954) de Stockhausen se puede ejemplificar la distancia de 5:1, esto es, la de dos octavas mas una tercera mayor de proporción 5/4, o en centésimos de semitono 2786.

El párrafo anterior tiene  bastantes términos que espero que al final de esta entrada se aclaren y se conviertan en un territorio a explorar. Por ahora comencemos con un oscilador sinusoidal con el cual queremos hacer una escala cromática como la conocemos en cualquier otro programa de síntesis a través de un pianoroll o un controlador. Aunque sabemos que podemos usar rápidamente el objeto mtof (MIDI to Frequency), usando números enteros para obtener las frecuencias de cada semitono, acá vamos a hacer lo que posiblemente es su funcionamiento interno para crear otras abstracciones.

Si tomamos una frecuencia de referencia (10 en la imagen  1), y la multiplicamos por 2 obtenemos la relación de octava: el doble de la frecuencia. Si se extiende esa relación cada vez que se multiplica el resultado obtenido por 2 se obtiene de nuevo una octava. En ese sentido el crecimiento que vemos de la distancia entre octavas es exponencial. Si dividimos el espacio que ha resultado de una manera lineal, obtendremos intervalos de tamaño igual matemáticamente, pero perceptualmente desiguales, pues la curva nos muestra cómo debe también cambiar la proporción constantemente. 

Imágen 1. 10 como frecuencia de referencia.

Para lograr intervalos que se perciban de manera igual, se debe pensar en una proporción que aumente de manera exponencial. Como lo muestra la ecuación en la imagen 1, x es la cantidad de pasos o de divisiones que han de tomarse para avanzar en sentido ascendente si se usa un número positivo. Los puntos marcados en la imagen 1 son prueba de como en las octavas (cada 12 pasos), la cantidad aumenta de manera exponencial.

Como señalé previamente, esta relación de octava puede ser tomada como base para el desarrollo de cualquier temperamento si se cambia el denominador en el exponente. Si queremos cuartos de tono sería 24, si queremos tercios de tono 36, si queremos onceavos de octava 11 o 1200 para obtener centésimos de semitono, también conocidos como cents. Cada temperamento nos crea un espacio interválico a explorar, e incluso superponer con otros. Por otro lado, como ejemplifiqué con la obra de Stockhausen cambiar la base en la ecuación supone pensar en la proporción por la que se ha de multiplicar la frecuencia de referencia, por lo que podemos tomar números enteros para obtener distancias relacionadas a las que podemos predecir con la serie armónica, o crear nuevos espacios con bases fraccionarias.

A continuación voy a crear una abstracción que permite en un espacio de 3.1416 respecto a la fundamental, dividir en 27 partes de igual percepción. Voy a usar como referencia un C-1 = 8.175 para que cada 27 pasos se obtenga una nueva octava. Los números los he tomado arbitrariamente, lo cual puede ser un criterio, pero recomiendo empezar por números que puedan entenderse o relacionarse a materiales auditivos experimentados previamente.

Imagen 2. Abstracción nto27pi

En un archivo nuevo podemos insertar los objetos que se observan en la imagen 2. El objeto inlet permite la entrada de datos, en este caso números, que pueden venir de un number box o pueden venir de un objeto que toma el número asociado a la tecla en un controlador como notein. Si se quiere asegurar que se restrinja la entrada a sólo el universo de números enteros, entonces ha de insertarse el objeto int para quitar cualquier parte fraccionaria. Luego está el objeto expr que permite evaluar expresiones matemáticas. En este caso la frecuencia mencionada como referencia se multiplica por el número resultante de la evaluación de la potencia donde 3.1416 es usado como base, $f1 es el x de esta ecuación, por eso expresado como variable y 27 como el denominador ya mencionado. Yo he guardado la abstracción en la carpeta que uso para mis abstracciones de Pure Data con el nombre que se plantea en la imagen 2.

Imagen 3. Comparativo de temperamentos iguales con diferente base y división. 

Posteriormente, al cargar la abstracción en un nuevo patch ya es posible hacer uso del mismo para generar las frecuencias que se asocian a este temperamento que acabamos de crear. Se puede observar en la imagen 3 que lo más cercano a un C4, 60 en mtof, es 82 en este nuevo temperamento. 

Se debe entender que no hay puntos comunes entre los temperamentos, respecto a los pasos, excepto el primero: cero. En la imagen 3 se puede observar como se comporta cada temperamento en la generación de frecuencias (eje y) respecto a cada paso dentro de su división  (eje x). El ejemplo del párrafo anterior y uso de la abstracción también pueden ser observados en la imagen 3.

No es más lo que puedo agregar a la idea de temperamentos iguales, pues lo que resta es probar diferentes temperamentos, variando las bases y/o las divisiones. Sí puedo afirmar que no es necesario tener una abstracción para cada temperamento que pensemos, pero sí podemos tener una que generalice o nos brinde la opción de cambiar de temperamento rápidamente. Ese ejercicio de creación lo dejo como tarea.

Respecto a otros tipos de temperamento, como pueden haber visto en el enlace al inicio de esta entrada, los intervalos varían de proporción, por lo que no podemos usar una abstracción tan sencilla como la que hemos realizado para el temperamento igual. Se debe crear en este caso un mecanismo de selección numérica que genere una proporción según se haya elegido y una frecuencia de referencia. Nuevamente un ejercicio interesante para poner en práctica los conocimientos de esta entrada sobre condicionales. 

Por ahora dejo abierta la posibilidad a través de los temperamentos iguales, posteriormente escribiré sobre los sistemas basados en proporción, lo cual es no sólo apasionante, sino que involucra otra buena cantidad de conceptos.